Фамилия, имя, отчество автора работы (полностью): Трунева Наталия Павловна
ФИО, должность руководителя работы: Драбкина Светлана Самуиловна, учитель математики, доцент кафедры геометрии ИГУ
Образовательное учреждение, город: МОУ лицей-интернат №1 г.Иркутска
Класс: 11
Название работы: Некоторые примеры строгой аналогии в геометрии

Тезисы работы:
-----------------
Введение.
Выбор темы был продиктован некоторой схожестью задач, которые решали отдельно и которые расположены в разных разделах. Поиск общих идей, установление взаимно-однозначного соответствия между разными объектами привел к мысли, что, вероятно, и в математике существует тот принцип равновесия, который олицетворяет китайский символ «инь- ян».
Задачи работы:
• Найти и установит закономерности между математическими фактами, которые смутно напоминают друг друга.
• Выявить аналогии между различными математическими фактами.
Тезисы работы:
1. Трехгранный угол и сферический треугольник.
Строгая аналогия этих понятий основана на том, что вокруг трехгранного угла с центром в его вершине можно описать сферу и тогда каждому элементу трехгранного угла отвечает единственный элемент сферического треугольника. Рассмотрены несколько задач.
2. Теоремы Чевы и Минелая.
• Теоремы связаны очень похожими соотношениями, которые подсказали использовать идею принципа двойственности на плоскости (малый принцип), а принцип двойственности в пространстве позволил сформулировать эти теоремы в пространстве и даже доказать их с помощью методов элементарной геометрии.
• Существует связь между теоремой о точке пересечения медиан и теоремой о средней линии треугольника. Которые являются частными случаями теоремы Чевы и Минелая.
3. Теорема Дезарга
Теорема установила еще одну взаимность:
• Оказывается, призмы можно рассмотреть как предельные положения пирамид и тогда многие задачи на построение сечений обобщаются.
• Обратная теорема является двойственной теоремой по отношению к прямой
• Рассмотрение случаев с использованием несобственных точек объединил некоторые виды преобразований, которые в элементарной геометрии изучаются отдельно друг от друга.
4. Взаимность правильных многогранников.
Задача о правильных многогранниках лишь подтвердила принцип двойственности в пространстве:
Название многогранника Число вершин Число ребер Число граней Символ {m;n}
Тетраэдр 4 6 4 {3;3}
Гексаэдр (куб) 8 12 6 {3;4}
Октаэдр 6 12 8 {4;3}
Додекаэдр 20 30 12 {3;5}
икосаэдр 12 30 20 {5;3}
(символ {m;n} означает, что в каждой вершине m ребер и каждая грань состоит из n-угольников )
Заключение.
Это небольшое исследование натолкнуло на идею взаимности в математике, которая, конечно же, присутствует в очень многих фактах, но пока скрыта от математиков, а многие факты еще не собраны в единую теорию. Если же такой взаимности нет, то она еще не выявлена.
В дальнейшем в своей работе мы хотели бы рассмотреть и другие факты взаимности.
-----------------